Beş Altın Kural: 20. Yüzyıl Matematiğinin Önemli Teorileri

Herhangi bir alandaki zihinsel atılımı besleyen can damar, önemli ve çözülmemiş (ama ilke olarak çözülebilir) problemlerin sürekli akımıdır. Örneğin, bir zamanlar matematik ormanının verimli bir bölgesi olan iz düşüsel geometri şimdilerde dodo kuşu [Dodo; nesli tükenmiş uçmayan bir kuş. (ç.n.)] kadar cansızdır. Bunun nedeni yalnızca iyi problemler kaynağının yaklaşık yüzyıl kadar önce kurumuş olmasıdır. Öte yandan, günümüzde çok moda olan ve yakın zamana kadar birçok uzak görüşlü serüvenci ve matematiksel giz ustası dışında hiç bilinmeyen kaos matematiğinde Lorenz, Smale, Feigenbaum, Yorke, May, Rössler ve başka birçok kişinin yakın dönemdeki çalışmaları günümüz kaos bilimcilerini, onların öğrenci ve taraftarlarını besleyen bir problem akımına yol açmıştır. Bu örnekler, George Polya'nın "Matematik, problem çözme sanatıdır" yolundaki ünlü tanımının haklılığını göstermektedir. Ancak öteki bilimcilerden farklı olarak, matematikçiler problemlerinden birinin çözümü için özel bir sözcük kullanırlar; ona teorem derler.

Matematiğin konusu teoremlerdir. Onları bulmak, kanıtlamak, genellemek, kullanmak ve anlamaktır. Beş Altın Kural, bu yüzyılda matematikçilerin en güzel beş başarısına öne çıkararak genel okuyucuyu matematik konusunda aydınlatmayı amaçlamaktadır. kitabın genel planı, matematiğin birkaç problemi ele alarak nasıl çözüldüklerini ve daha da önemlisi, çözümlerin niçin önemli olduklarını matematikçi olmayanlar için de açıklama şeklindedir. Böylece, Beş Altın Kural'ın amacı, kurallar yerine örnekler kullanarak aydınlatma, hoş vakit geçirtme ve eğitmektir.

Stanislas Ulam, bir ara, matematikçilerin her yıl 200 binden fazla teorem yayınladıklarını saptamıştı. Bu teoremlerin çok büyük bölümü hiç ilgi görmez, sadece çok ufak bir bölümü büyükçe bir grup matematikçi tarafından anlaşılır ve kabul edilir. Bu gezegende matematikle birkaç bin yıldır uğraşıldığı düşünüldüğünde, bu yüzyılın milyonlara varan teoremler arasında "en büyük" olan tek bir tanesini seçmek, ilk bakıştaolağanüstü zor gibi görünür. Ancak, büyük teoremleri bu niteliği hak etmeyenlerden ayıracak bazı ölçütler koyarak sayıları kolaylıkla azaltabiliriz. Bu kitapta ışıldayan beş pırlantayı saptamak için uyguladığım beş ölçüt şunlardır:

Önem: Teorem, matematiğin gelişmesini engelleyen büyük bir mantıksal tıkanıklığı giderdi mi? sonucu yine matematiksel araştırma alanlarının bulunmasına yol açtı mı? Örnek: Morse Teoremi, Tekillik teorisinin gelişmesine yol açmıştır.

Güzellik ve Kapsam: Teorem, kendi içinde bir şiirin ya da bir tablonun güzel olduğu anlamda "güzel" mi? Geniş bir bilgi kümesini yoğun biçimde özetliyor mu? Ve, teorem matematikteki birçok probleme ışık tutuyor mu? Örnek: Brouwer Sabit-Nokta Teoremi. Bu teorem, birçok farklı ortamda, çok genel matematiksel koşullar altında denklemlerin çözümlerinin var olduğunu saptamamızı olanaklı kılıyor.

Uygulama: Teorem, matematik dışında önemli uygulamalara olanak veriyor mu? Teoremin var olduklarını söylediği matematiksel yapılar, doğanın ve/veya insanoğlunun daha iyi anlaşılması için bir temel oluşturuyor mu? Örnek: Minimaks Teoremi. Bu teorem, ekonomide başka alanlardaki karar organlarının etkinliklerinin "rasyonel" olmasının ne anlama geldiği konusunda yapılan matematiksel çalışmaların temel taşını oluşturuyor.

Ispat Yöntemi: Teoremin ispatlanmasi yeni mantiksl teknik ve usa vurma yöntemleri gerektirdi mi? bu yöntemler baska önemli problemler için etkin çözüm yollarinin bulunmasinda kullanilabilir mi? Örnek: Durma [Halting] Teoremi. Bu teoremin ispati, dikkatlerin, matematiksel gerçekleri kanitlamak için algoritma kullanma fikri üzerinde odaklanmasina yol açti.

Felsefi Sonuçlar: Teorem, bize insanlar hakkında daha önceden bilmediğimiz bir şey söylüyor mu? Teoremin sonuçları, evren ve kendimiz hakkında neler bilebileceğimiz konusunda daha derin bir anlayışa yol açacak olanaklar mı, yoksa önemli sınırlamalar mı getiriyor? Örnek: Gödel'in tamamlanamama -sınırlılık- Teoremi. Bu teorem, insan anlağının gerçek-dünya doğrularının formalize edilebilme yetisine sınırlamalar getirmektedir.

Bir teoremin şeref listemizde yer almaya hak kazanması için, yukarıda verilen kategorilerin tümünde olmasa da çoğunda yüksek not alması gerekir. Bu süzgeçler uygulandığında, Stanislas Ulam'ın milyonlarca teorem içeren evrenin giderek küçüldüğü ve baş edilebilir bir sayıya indirgendiğini anlamak için pek fazla düşünmeye gerek kalmaz.

Büyük teoremler sadece kendi başlarına önemli olarak kalmaz, önemli teorilere de yol açarlar. Yukarıda açıklandığı gibi, bir teoremin önemli olmasının temel bir ögesi, onun yol açtığı ya da bir şekilde gelişmesine neden olduğu teorilerdir. Bu nedenle, yirminci yüzyılın büyük teoremleri kadar, önemli teorileri de ilgi alanımız içindedir.

Kitabın içeriğine göz atan okuyucu, seçilen teoremlerin neden bu kadar eski olduğunu sorabilir. Büyük beşli listesindeki en yeni teorem, yaklaşık 1947'den gelen Simpleks Yöntemi'dir. Brouwer'ın 1910'da yayınlanan Sabit-Nokta Teoremi ise en eskidir. Amaçladığımız matematik modern, yani yirminci yüzyıl matematiği ise son elli yılın çalışmalarından neden hiç söz edilmiyor? Bu durumu daha çarpıcı yapan, içinde bulunduğumuz yüzyılın ikinci yarısında, geçmiş bütün yüzyılların toplamında daha çok sayıda önemli matematik çalışması yapıldığı konusunda herkesin hemfikir olmasıdır.

soru oldukça yerindedir ve iyice düşünülmüş bir yanıt hak etmektedir. Yanıtın temelinde, aranılan şeyinbüyük teoremlerin değil, büyük teorilerin olduğu yatar. Matematiğin büyük teorileri, büyük şiirler, ünlü tablolar veya büyük yazınsal eserlere benzerler; olgunlaşmaları ve büyük olduklarının anlaşılması için zaman gerekir. Bu, Michael Faraday'ın, laboratuvarını ziyaret eden İngiliz Başbakanı'na verdiği yanıtı hatırlatmakta. Faraday, elektrik konusundaki en son keşfini anlattıktan sonra ünlü konuğu ona sormuş: "Bu ne işe yarar?". Faraday ise şu yanıtı vermiş: "Yeni doğmuş bir bebek ne işe yarar?". Aynı durum teoremler için de geçerlidir. Büyük bir teoremin "büyümesi" için yani onun daha sonra gelişen önemli bir teorinin tohumu olduğunun farkedilmesi için genelde en az iki neslin geçmesi gerektiği anlaşılıyor. Bu demektir ki, günümüzde büyük olarak kabul edilen teorinin kökeni hemen her zaman İkinci Dünya Savaşı öncesi dönemde elde edilmiş sonuçlara dayanmaktadır. Günümüzden on yıl sonra yazılacak bu tür kitabın 19602lı 1970'li yılların teoremlerine odaklanacağından kuşkum yok; Bu teoremler ancak şimdilerde büyük teoriler şeklinde biçimlenmeye başlamışlardır. Bazen bir büyük teorinin teknolojik ilerleme gerektirebileceğini de ekleyelim. Örneğin, eğer bilgisayar son birkaç on yıl içinde bu kadar gelişmeseydi, bu kitapta ele alınan önemli teorilerden ikisinin -optimizasyon teorisi ve hesaplama teorisinin- bu tür bir kitapta yer alabileceğini sanmıyorum.

bu kitabı yazmayı düşündükten hemen sonra birçok arkadaşıma ve matematik bilimcisine yirminci yüzyıl matematiğinin önemli teorem ve teorilerine yönelik böyle bir kitap için neleri seçeceklerini sordum. Buraya alınamaycak kadar uzun olan bu listeyi birgün yayınlamak isterim. Ancak tercih listemi son durumuna getirdikten sonra bana kitabın neden bu kadar "katışık" [impure] olduğu soruldu; neden bütün teoriler (belki topoloji dışında), iyi niyetle (ya da küçümseyerek!) bazılarının "uygulamalı matematik" dedikleri (nefret ettiğim bir terim) alandaydı? Neden pür matematik denilebilecek alandan hiçbir şey alınmamıştı? bunun iki nedeni var: a) hepimiz beğenilerimizin ve geçmiş deneyimlerimizin esiriyiz; benim geçmişimde matematiksel açıdan uygulamaya yakındır; ve b) kitabın, sıradan insanların (yani akademisyen olmayanların) günlük yaşamlarında bir etken olan matematiğe neden önem vermeleri gerektiğini öne çıkarmasını istiyordum; içeriğinin uygulamaya yönelmesinin bir nedeni de budur. Eğilimi benimkinden farklı olan birisinin önemli çağdaş sonuçlar ve teorilerle, Atiyah-Singer Indeks Teoremi (kısmî diferansiyel denklemler), Sonlu Basit Gruplar için Sınıflandırma Teorisi (grup teorisi), Hahn-Banach Teoremi (Fonksiyonel Analiz) gibi sonuçlarla ilgili benzer bir kitap yazmasını gerçekten çok isterim. Ama benim bunu yazacak kişi olacağımı sanmıyorum.

Kitabın matematiğin ne olduğunu ve neden önemli olduğunu bilmek isteyenler için yazıldığını belirtmekle, pek fazla dile getirmeden, matematikçi olmayanlara yönelik olduğunu da söylemiş oluyorum. Bu durum biraz açıklama getiriyor. Hiç matematik kullanmadan matematik hakkında yazmanın, kanımca, hem akıllı okuyucuya hem de matematiğin kendisine haksızlık ederek sorumluluktan kaçınmak olduğunu hemen söylemeliyim. Matematik hakkında bu koşulda yazı yazmak; ya geometri ve fraktallar gibi resim çizmeye elverişli konuları ya da sayıların özellikleri, basit olasılık teorisi veya elemanter mantıkla ilgili bulmacaları tartışmayı zorunlu kılar; o zaman da gerçek matematiksel uğraşın çoğu kez verdiği coşku ve içerikten yoksun kalır. Bu nedenle farklı bir yol, daha az magazinvari -ve çok daha tehlikeli- bir yol izlemeyi seçtim. Bu kitabın izleği, uzun zaman önce "bir teori, mümkün olduğu kadar basit olmalı, ama daha basit de olmalıdır" diyen Einstein'in buyruğunu izler. Bu yarı-şifreli tümceyi kitabın amaçladığı okuyucuyu niteleyen bir ifadeye dönüştürmeme izin verin.

Kitaba alınan konuların hedefi olan okuyucunun oldukça incelikli demekten hoşlandğım bir matematik geçmişi olacaktır. Bu, onun matematiksel teknikleri ve süreçleri gerçekten bildiği anlamına gelmiyor; bu kitapta, matematik tekniği denilebilecek pek az şey var (gerçekte hiç yok), ancak matematiksel kavramlar, fikirler ve akıl yürütme zincirleri içeren çok şey var. Ayrıca, Stephen Hawkins'in editörünün, bir kitapta bulunan her denklemin kitabın satışını yarıya indirdiği yolunda çok yankı uyandıran ifadesine katılmıyorum. benim idealimdeki okuyucuda ona katılmayacaktır. Bu kitabın sayfalarında, ara sıra bir denklem, bir Grek sembol, hatta bir-iki grafikle karşılaşacağız. Matematikçilerin neler başardığını ve bunun neden önemli olduğunu öğrenmeyi arzulayan bir okuyucu için bu tür formaliteler bir engel olmayacak, bu ufak engelleri, can sıkıcı küçük şeyler olarak düşünüp onlarla başa çıkacaktır. Demek oluyor ki, bu kitap matematiksel kavram ve fikirlerle yüz yüze gelmekten korkmayan herkes içindir. Daha doğrusu, lise düzeyinde cebir ve geometri eğitimi almış ve matematiksel düşünceye karşı en azından bir parça ilgi duyan herkese çok eskiden alınmış olan derslerin ayrıntıları belleklerden silinmiş de olsa. Önemli olan, fikirler ve kişinin onlarla tanışmaya arzulu olmasıdır, teknik ayrıntılar değil.

Matematik bilgisi bunun ötesinde olanlar için ne diyebiliriz? Eğer kitap müsvedde durumundayken yapılan yorumlar ölçü kabul edilirse, profesyonel matematikçilerin çoğu da kitabın içeriğini ilginç bulacaktır. Ancak, bir matematik kitabından veya araştırma makalesinden beklenen kesin ve ayrıntılı ispatları bulamayacaklardır. Bu kitap matematikçi olmak isteyenler için bir ders kitabı değildir - her ne kadar "şairler için matematik" türü beşeri bilimler kurslarında başarılı bir ders kitabı olduysa da. Bir araştırma makalesi ise hiç değildir. Kitap sadece bir açıklamadır. Burada ana hatlarıyla ele alınmış argümanların ayrıntılarına girmek isteyenler için kitabın kaynakça bölümünde her konu için matematiksel güçlük bakımından farklı düzeylerde daha ayrıntılı bilgi içeren çok sayıda kaynak verilmiştir.

Bu tür kitap derlenirken çeşitli kaynaklardan alınan bilgi ve yüreklendirmenin değeri büyüktür. Gereğinden uzun olan bu Giriş'i, herhangi bir kitabın yazılması ile ilgili işler arasında en zevkli olanıyla, yani kitap için zamanlarını cömertçe veren arkadaş ve meslektaşlarıma selamlayarak bitirmeme izin verin. Ian Stewart, Phil Davis, Don Saari, Martin Shubik, Atlee Jackson ve Greg Chaitin kitabın üslubu ve içeriği hakkındaki değerli düşünce ve önerilerini verdiler. Aynı konuda özel şeref payesi için eskiden hocam, şimdiyse meslektaşım olan Tom Kynes tek adayımdır. Orijinal taslağı titizlikle okuyarak ve hemen her satırı için düşüncesini açıklayarak, kitabın son durumuna gelmesindeki olumlu katkılar dışında beni bazı hatalardan, eskilerden ve uyumsuzluklardan da korumuş oldu. TEX dizgi danışmanlığı için Michael Vulis ve Berthold Horn'a teşekkür etmek her zaman bir zevktir. Kitabın sanatsal düzenlenmesi aşamasında Professional Book Center'dan Jennifer Ballentine bir erdem ve öğüt kaynağı olmuştur.

Son olarak, çok dikkatli redaksiyon ve sürekli yüreklendirmesi, hak edebileceğimden çok daha iyi bir kitabın ortaya çıkmasına yol açan, kitabın editörü Emily Loose'a magna cum laude [en üstün şeref derecesi]. Bütün bu insanlara teşekkürlerimi sunar ve kitaba sızmayı başaran hiçbir hatadan sorumlu olmadıklarını beyan ederim. Bu hatalar tümüyle benim sorumluluğumdadır.

John L. Casti

Santa Fe, New Mexico